ミステリー

【あなたの番です】黒島沙和(西野七瀬)の自分の紙を引く確率の計算式を調べてみた

更新日:

第7話で沙和(西野七瀬)が見せた、素敵すぎる確率計算について調べてみました!

個人的には、ああいう計算式はドラマ内でも解説が入ってくれたらいいなあと思ってしまいます笑

もしかしたら、自分と同じようにどうやって沙和はあの計算をしたんだ??

と思う人もいそうなので、調べた結果をまとめていきます!

まず、計算した内容に関して一応振り返ると

13人で行われた交換殺人ゲームの紙交換会において、今の所誰も自分の書いた紙を引いたという報告がなかったので

全員がそれぞれ自分以外の紙を引く確率はどれくらいか計算したという内容になります。

ドラマ内の描写にヒントがあった!

実は当初自力で計算してやろうと意気込んだんですが、

大学卒業以来ほとんど数学に触れていない脳みそでは無理でしたw

色々と調べていくうちに、ドラマ内で沙和が計算するシーンで一瞬ですがヒントが映っていたことがわかりました!

見返すとわかるのですが、計算を始める際に沙和は初めに「モンモー」と書いています。

これがこの計算で使われた有名な公式だったようです。

かなり有名な公式みたいですので、数学に強い方なら沙和より先に解いた人もいるかもしれません。

ここで書かれた「モンモー」は、「モンモール数」という言葉を指しており、

モンモール数を求める時に使われる公式をうまく使うと、今回の答え「約37%」が導き出せるようです。

モンモール数とモンモールの問題

初めにモンモール数についてを簡単な例を元に説明します。

 

例えば1〜10という数を任意の順番で並べた時に、

1番目は1以外、2番目は2以外、…10番目は10以外という並び方が何通りできるかを数えたものになります。

また、モンモール数を求める問題のことをモンモールの問題と言います。

(今回の紙交換もモンモールの問題と言えます)

 

これを交換殺人ゲームの紙交換に当てはめると、

1人目〜13人目の紙を順番に並べて、

1番目は1人目の紙以外、2番目が2人目の紙以外…13番目は13人目の紙以外

となる並び方が何通りあるかということになります。

 

もう少し噛み砕くと、、

13人の参加者に1〜13という通し番号を振って、

それぞれが書いた紙を1の紙、2の紙、…13の紙とすると、

通し番号と紙の番号が全て異なるパターンが何通りあるかということになり、

今回求めたかった、全員がそれぞれ自分の紙を引かないパターンが何通りあるかという事と同等の意味となります。

モンモールの計算式を見てみる

何はともあれ分かる分からないは抜きにして、モンモールの計算式を見てみましょう。

モンモールの計算式

 

何となく沙和が書いていたものが思い出されますでしょうか??

ちなみに数式の左辺である、

の部分がモンモール数になります。

この値を紙引くすべての組み合わせの数(計算方法は後述)で割ると、

沙和が導き出した「0.367...」つまり「37%」という数字が算出されることになります。

では、なぜこの計算を行うと「0.367...」になるのか1つずつみていきます。

以降、数学的解釈になりますが間違えていたらすみません。。

(コメントかTwitterのDMにて指摘いただけたら大変喜びます)

計算式の説明

初めに、前述したすべての組み合わせの数の求め方から説明しますと下記になります。

何故かというと、紙3枚で考えてみましょう。

紙3枚の中から1人目が引く紙は3枚のうちどれか、つまり3通りです。

次に2人目が引く紙は1人目が既に1枚引いているので2通り、

最後の3人目は残った紙を引くので1通りです。

つまり、

となりますね。13枚の紙でも同じ事が言えるわけです。

ちなみに小学校か中学校かでやったと思いますが、

このような連続した掛け算は、先頭の数(ここでは13)に!を付けて表すことができました。

モンモールの問題に当てはめると、

「n!」が「任意の数n」に対するすべての組み合わせの数となります。

なので今回求めたい「0.367...」という数字は

モンモール数をすべての組み合わせで割った値と説明しましたので、

が最終的な答えになります。

 

これを踏まえて、改めてモンモールの計算式に戻ってみましょう。

「n!」という値が既に右辺の先頭に出てきています。

数学の式では左辺と右辺に同様の計算を施しても式は変わらない

というルールがありますので、両辺を「n!」で割ると、

左辺は、今回求めたい値である

となり右辺は元々存在した「n!」で打ち消すことが出来るので、

下記の式と置き換えることができます。

次に、

以降を見ていきます。

この部分結論から言うと今回の場合、下記のように変更が出来ます。

k=2ではなくk=0になっていますね。

ここで言うΣ(シグマ)の意味は、k=2からk = nまで繰り返し計算して、

計算した結果を全て足し合わせてくださいという意味になります。

 

これをなぜk = 0にして良いかなんですが、nの値が大きい場合にのみ許されています。

k = 0の時とk = 1の時は、nの値が大きい時は全体の数字からすると極めて小さい値なので、

k = 2から計算を始めた場合と大差からOKということになるようです。

(近似みたいなやつ確か昔やりましたね笑)

(修正)

k = 0の時は、計算結果が1

k = 1の時は、計算結果が-1

となり打ち消しあうことができるため、

K = 0に変更して良いということのようです。

(ご指摘いただきありがとうございました!)

 

なので、式変形させると下記になります。

 

変形した式

指数関数のマクローリン展開とかいうやつ

ここまできたら、あと少しで沙和の計算にたどり着けます!頑張ってください!

最後に登場するのが、マクローリン展開ってやつです。

名前だけは聞いたことある!という方も多いのではないでしょうか?

今回使用するのは指数関数におけるマクローリン展開というやつなんですが、

まあ名前とか公式の詳しい内容に興味がある方は調べてみてください。

指数関数のマクローリン展開は以下の式で表されます。

この式なんとなく見た事ありませんか??

右辺部分がモンモールの計算式の、

にk=0から順に値を入れて展開した時の計算と同様になります!!

つまり、マクローリン展開を使用すると、最終的にモンモールの式は下記になります。

最終的な式

見事に沙和が求めた「0.367...」が求められました!!

興味本位で調べたら結構ガチガチの計算式が出てきてびっくりしたのですが、

いかがだったでしょうか?

今後は探偵役と期待している沙和のさらなる活躍を楽しみにしたいと思います。

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