最尤推定について自分用にまとめます。
（完全に個人用なので、ミスがあったらすみません）
はじめに
Youtubeでめちゃくちゃ分かりやすい動画あったのでその紹介。
| チャンネル | 動画 |
|---|---|
| 10分で単位が取れる、理系科目のサクっと講義 | 統計学⑫（点推定２）最尤推定をチンパンでもギリ分かるレベルで解説したよ【大学数学 |
作者に感謝。
最尤推定とは？
最尤推定は、ある母集団から取り出した標本から、その標本の通りになるような母集団を探索し、
最もそれらしい（尤もらしい）母数を推定すること。
例題
フリースローがpの確率で入る時、200回打ったら120回入った。
この時最尤推定を利用すると確率pは幾つになるか？
尤度関数
母数の確率pを任意に動かした時に、取り出した標本になる確率を尤度といい、尤度を求める関数を尤度関数と言う。
ここでは母集団と標本は以下のように定義できる。
| 母集団 | 標本 |
|---|---|
| 十分に大きい回数のフリースロー結果 | 200回打って120回入った結果 |
尤度関数\(L(p)\)を式で表すと
$$ L(p) = {}_{200} \mathrm{ C }_{120}\ p^{120}\ (p-1)^{80} $$
この関数に対しpの値を変化させた時、最も大きい値となるpを探す。
微分
尤度関数の最も大きい点を探すために微分を行う。
（微分して0になる点のうちいずれかが、最大になる値）
$$ \frac{d}{dp}L(p) = 0 $$
\(L(p)\)は単調増加関数なので対数尤度が0になる点を求めれば良い
$$ \begin{align} \frac{d}{dp}\log L(p) &= \frac{d}{dp}\ \log {}_{200} \mathrm{ C }_{120} + 120\log p + 80\log (1-p) \\
&= 20p -12 = 0
\end{align}$$
よって、
$$p = \frac{3}{5}$$