個人的学習用のため、ミスがあったらすみません。
固有値分解とは
固有値を持つ正則行列\(A\)に対して、対角化をすることとほぼ同義。以下のような式が成立する。
$$ P^{-1}AP = \Lambda$$
- \(A\)は固有値を持つ正則行列
- \(P\)は\(A\)の固有ベクトルを並べた行列
- \(\Lambda\)は\(A\)の固有値を対角成分に並べた対角行列
例題
以下の正則行列\(A\)を固有値分解する。
$$A = \begin{pmatrix}
8 & 1 \\
4 & 5
\end{pmatrix} $$
1. 固有方程式から固有値を求める
$$ |A - \lambda E| = 0 $$
$$ det\begin{pmatrix}
8 - \lambda & 1 \\
4 & 5 - \lambda
\end{pmatrix} = 0 $$
$$ ( 8 - \lambda )( 5 - \lambda ) - 4 = 0$$
\(\lambda\)の2次方程式を解くと、
$$ \lambda = 4, 9 $$
2. 固有ベクトル\(\vec{x}\)を求める
$$ (A - \lambda E) \vec{x} = 0 $$
2-1. \(\lambda = 4\)の時の固有ベクトル\(\vec{x_1}\)を求める
$$\vec{x_1} = \begin{pmatrix}
s_1 \\
s_2
\end{pmatrix}$$
とすると、以下が成立する。
$$\begin{pmatrix}
4 & 1 \\
4 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
s_1 \\
s_2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix} $$
よって、
$$ 4s_1 + s_2 = 0 $$
$$ \vec{x_1} = k_1\begin{pmatrix}
-1 \\
4
\end{pmatrix}$$
\(k_1\)は、0でない任意の実数
2-2. \(\lambda = 9\)の時の固有ベクトル\(\vec{x_2}\)を求める
手順は\(2-1\)と同様なので省略
$$ \vec{x_2} = k_2\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}$$
3. 固有値分解(対角化)
冒頭の定義式から、以下が成立するので、\(P\)を求め代入する。
$$ P^{-1}AP = \Lambda$$
\(P\)は固有ベクトルを並べた行列なので、
$$ P = \begin{pmatrix}
k_1 & k_2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
4 & 1
\end{pmatrix} $$
また、逆行列\(P^{-1}\)は、\(2 \times 2\)の逆行列の公式より、
$$P^{-1} = \frac{1}{-1 \times 1 - 1 \times 4} \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
-4 & -1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-\frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\
\frac{4}{5} & \frac{1}{5}
\end{pmatrix}$$
よって、
$$P^{-1}AP = \Lambda = \begin{pmatrix}
-\frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\
\frac{4}{5} & \frac{1}{5}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
8 & 1 \\
4 & 5
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
4 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 0 \\
0 & 9
\end{pmatrix}$$
これは固有値を対角成分に並べた対角行列となっている